雷达信号处理-[1]-噪声信号与雷达基带信号产生

雷达信号处理-[1]-噪声信号与雷达基带信号产生

前言

这学期我和CNPP同学上了一门课,做了4个Matlab仿真实验,是关于雷达信号处理方面的,包括信号产生、加噪处理、滤波降噪处理、数字下变频解调、匹配滤波/脉冲压缩的内容。在此我们将实验报告稍作修改,扔到Emoe上,希望能帮到后来的童鞋们。

本系列将分为4篇,首尾相接发布。本文是第一篇,4篇的链接都在这里:

雷达信号处理-[1]-噪声信号与雷达基带信号产生
雷达信号处理-[2]-信号滤波与降噪
雷达信号处理-[3]-数字下变频(DDC)
雷达信号处理-[4]-匹配滤波与脉冲压缩

本系列文章的全部Matlab代码均放在github仓库中: RadarSignalProcessing_experiment

1.噪声信号的数学描述

1.1.均匀分布


f(x) = {1 \over {b-a}}, a < x < b \\
f(x) = 0, else

1.2.高斯分布

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})

1.3.瑞利分布

f(x)=\frac{x}{\sigma^2}exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2}),x>0

1.4.复高斯噪声与瑞利分布的关系

设正弦波加窄带高斯噪声的混合信号为

r(t)=Acos({\omega}_c+\theta)+n(t)

式中:n(t)=n_c(t)cos\omega_ct-n_s(t)sin\omega_ct,为窄带高斯噪声,其均值为0,方差为\sigma^2_n\theta为正弦波的随机相位,在(0,\ 2\pi)上均匀分布;振幅A和\omega_c均假定为确知量。于是:

r(t)=[Acos\theta+n_c(t)]cos\omega_ct-[Asin\theta+n_s(t)]sin\omega_ct \\
=z_c(t)cos\omega_ct+z_s(t)sin\omega_ct \\
=z(t)cos[\omega_ct+\phi(t)]

其中:

z_c(t)=Acos\theta+n_c(t) \\
z_c(t)=Asin\theta+n_s(t)

r(t)的包络和相位分别为:

z(t)=\sqrt{z_c^2(t)-z_s^2(t)},\ z\ge0 \\
\phi(t)=arctan\frac{z_s(t)}{z_c(t)}, \ 0{\le}z{\le}2\pi

考察r(t)的包络和相位的统计特性,如果\theta值已给定,则z_cz_s是相互独立的高斯随机变量,且有:

E[z_c]=Acos\theta;\ E[z_s]=Asin\theta;\ \sigma_c^2=\sigma_s^2=\sigma_n^2

故在给定相位\theta的条件下z\phi的联合概率密度函数为:

f(z_c,\ z_s/\theta)=\frac{1}{2\pi\sigma_n^2}exp\{-\frac{1}{2\sigma_n^2}[(z_c-Acos\theta)^2+(z_s-Asin\theta)^2]\}

根据z_cz_sz\phi之间的随机变量关系:

z_c=zcos\phi;\ z_s=zsin\phi

可以求得在给定\theta的条件下z\phi的联合概率密度函数为:

f(z_c,\ \phi/\theta)=f(z_c,\ z_s/\theta)\vert\frac{\partial(z_cz_s)}{\partial(z_s,\ \phi)}\vert=z{\cdot}f(z_c,\ z_s/\theta) \\
=\frac{z}{2\pi\sigma_n^2}exp\{-\frac{1}{2\sigma_n^2}[z^2+A^2-2Azcos(\theta-\phi)]\}

然后求给定\theta条件下的边际分布,即:

f(z/\theta)=\int_0^{2\pi}f(z_c,\ \phi/\theta)d\phi \\
=\frac{z}{2\pi\sigma_n^2}exp(-\frac{z^2+A^2}{2\sigma_n^2})\cdot\int_0^{2\pi}exp[\frac{Az}{\sigma_n^2}cos(\theta-\phi)]
d\phi

由于:

\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}exp[xcos\phi]d\phi=I_0(x)

故有:

\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}exp[\frac{Az}{\sigma_n^2}cos(\theta-\phi)]d\phi=I_0(\frac{Az}{\sigma_n^2})

式中:I_0(x)为第一类零阶修正贝塞尔函数。

x\ge0时,I_0(x)是单调上升函数,且有I_0(0)=1,因此:

f(z/\theta)=\frac{z}{\sigma_n^2}exp(-\frac{z^2+A^2}{2\sigma_n^2}){\cdot}I_0(\frac{A_z}{\sigma_n^2})

由上式可见,f(z/\theta)\theta无关,故r(t)的包络z的概率密度函数为

f(z)=\frac{z}{\sigma_n^2}exp(-\frac{z^2+A^2}{2\sigma_n^2}){\cdot}I_0(\frac{A_z}{\sigma_n^2}),\ z\ge0

此概率密度函数称为广义瑞利分布,又称莱斯分布。其存在两种极限情况:

  1. 当信号很小,即A\to0时,信号功率与噪声的比值\gamma=\frac{A^2}{2\theta_n^2}\to0,相当于x很小,于是有I_0(x)=1,莱斯分布退化为瑞利分布;
f(z)\approx\frac{z}{\sigma_n^2}exp(-\frac{z^2}{2\sigma_n^2}),\ z\ge0
  1. 当信噪比\gamma=\frac{A^2}{2\theta_n^2}很大时,有I_0(x)\approx\frac{e^x}{\sqrt{2{\pi}x}},这时在z{\approx}A附近,f(z)近似为高斯分布,即:
f(z)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}exp(-\frac{(z-A)^2}{2\sigma_n^2})

2.噪声信号产生

均匀分布噪声产生(matlab代码)

可见其时域波形图、直方图、频谱图。可以看到其直方图呈现出均匀分布的特征,在其频带内各频点能量分布均匀,符合白噪声特性

Uniformly distributed random noise Matlab Code

Uniformly distributed random noise Matlab Simulation

高斯分布噪声产生(matlab代码)

可见其时域波形图、直方图、频谱图。可以看到其直方图呈现出高斯钟形曲线特征,在其频带内各频点能量分布均匀,符合白噪声特性

Gaussian distributed random noise Matlab Code

Gaussian distributed random noise Matlab Code

瑞利分布噪声产生(matlab代码)

可见其时域波形图、直方图、频谱图。可以看到其直方图呈现出瑞利分布特征,在其频带内各频点能量分布均匀,符合白噪声特性

Rayleigh distributed random noise Matlab Code

Rayleigh distributed random noise Matlab Code

3.雷达信号产生与加噪

3.1 BPSK信号产生与加噪

matlab代码如下,码元为1101010001

BPSK Radar baseband signal generation Matlab Code

产生的BPSK码元信号、调制后信号以及调制后信号的频谱

BPSK Radar baseband signal generation Matlab Simulation

可以看出其频谱有明显的谐波特性,因其原始信号为正弦与方波相乘,频域相乘时域卷积,方波的谐波成分反映到了调制后信号的频谱中。

现在对BPSK调制信号添加噪声。可明显看出其时域波形上的毛刺与尖峰。

BPSK Radar baseband signal with noise Matlab Simulation

3.2 LFM(Linear Frequency Modulation)信号产生与加噪

matlab代码如下

LFM Radar baseband signal generation Matlab Simulation

产生的LFM信号波形,以及其调制波形,能谱图和频谱图

LFM Radar baseband signal generation Matlab Simulation

可以看出其频谱也具有明显的谐波特性,因其原始信号为正弦与带斜率的线性波相乘,同时带有突变成分,突变成分意味着具有高频谐波,该谐波成分反映到了调制后信号的频谱中。

现在对LFM调制信号添加噪声。可明显看出其时域波形上的毛刺与尖峰。

LFM Radar baseband signal with noise Matlab Simulation

4. LFM信号 HDL实现

使用Verilog HDL硬件描述语言编写LFM信号产生的仿真实验,系统框图如下:

Verilog HDL LFM pulse generation simulation diagram

利用Cordic算法进行单周期快速正弦运算可以大幅提升正余弦计算速度。使用锯齿波作为控制信号,对VCO正弦进行调制即可得到LFM信号,仿真波形图如下:

Verilog HDL LFM pulse generation simulation waveform

可以看到LFM信号产生效果极佳。

5. 参考

轻松搞懂均匀分布、高斯分布、瑞利分布、莱斯分布(含MATLAB代码)

Matlab仿真产生复高斯白噪声,验证包络服从瑞利分布,包络平方服从指数分布

matlab中生成瑞利信道的两种方法

BPSK基带调制系统MATLAB仿真实现(1)

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