0-引言

🐟之前写过一篇电子入门百科全书,主要讲解了电子学入门的、偏工程向的入门知识。
随着我们对电子的学习深入，终有一天我们将迎面撞上射频与微波的魔法领域。尤其是在无线通信和高速互联主导的21世纪，射频与微波技术的高速发展使其在各个工程领域都占据了最重要的地位。

好吧忽略上面的教材腔(X)。总之这是一项很有趣的综合性学科。在🐟工作的半年中，🐟逐渐从模拟转到了射频方向，自然也是天天学习射频领域的新知识和新概念。其实我早就想写这篇文章了，但无奈当时水平太菜(现在依然很菜)无法下笔。学了些东西后好歹能多多少少写点出来~
这篇文章也会相当的硬核，其中将穿插着大量理论知识和数学、物理公式，但考虑到我们更注重工程实践，我会考虑在写文时适当地将公式推导过程简化，让其能够更直观地被理解。至于推导的详细过程，请参考文末的 参考与引用资料。

废话不多说，开始！

1-从低频到高频

要学习射频，首先我们需要明白射频系统和低频系统本质的区别在哪。

在低频电路中，我们分析电路的有利工具是 基尔霍夫定律，加上几种等效与互易定理和法则，我们就能分析所有的简单低频电路。同时，我们分析、测试电路时关心的是 电压、电流、频率、相位 等参数。但是当我们要处理的信号频率逐渐升高，超过了一个界限时，我们就无法用基尔霍夫定律来分析电路了。为什么呢？

1.1-集总参数与分布参数电路

我们知道，电磁波在真空中的传播速度为光速 c 。一般在电路中，我们也认为电场的建立速度为光速，即电流的流动速度也是光速。现在想想，在电路中一个频率为1MHz的信号A和一个频率为1GHz的信号B，它们对应的波长是多长？我们假设传播介质的相对介电常数(\epsilon_r)为1，可以由如下公式求得A和B信号的波长:

\lambda = {c\over \epsilon_r f} (m),\epsilon_r = 1 \\
\lambda_A = 300 (m) \\
\lambda_B = 0.3 (m) = 30(cm)

设想现在有一段1米长的导线，我们将A和B两个信号分别加载到这段导线的一端，终端有一个负载，然后我们用一个带宽足够高的示波器去测量这段导线上的电压波形，同时测量源的波形作为参考。加载A信号时，无论把探头移动到哪一点，测量点处的波形与源端波形基本上没有变化；但加载B信号时，随着探头在导线上的移动，你会发现测量点处的波形相对于源端波形，相位在发生变化。

当电路中信号的频率高一定值，使得信号对应的波长与电路或导线的物理尺寸数量级相当时，在某一时刻，导线上的电压/电流并不处处相同。此时，基尔霍夫定律失效。 同时，我们称工作频率相对应的波长远大于电路的物理尺寸的电路为 集总参数电路，而与之相对的则是 分布参数电路。

其实，基尔霍夫定律是可以由能够解释一切电磁现象的 麦克斯韦方程组 推导出来的。详见这篇Journal:由基尔霍夫定律看电磁场理论与电路理论的关系-李凤霞。在最后它给出了结论，基尔霍夫定律只适用于集总参数电路。

1.2-多高算射频微波？

一般的划分界限是，工作时电路中信号的 最高频率 高于300kHz，低于300MHz的电路为射频电路，超过300MHz时，则是微波电路。
但是在实际工程中其实没有一个明确的划分，有时处理几十MHz的信号时，我们仍然采用常规的电路分析方法。请注意我上面所标记的"最高频率"，这是什么意思呢？

通过信号与系统 和 信号完整性的知识，我们知道对于一个上升沿时间为 t_{rise}(单位ns) 的信号(一般取10%-90%上升沿时间,详见推导参考)，其信号带宽可由下式估算(详细推导过程请参考 Rise Time vs. Bandwidth and Applications):

BW(BandWidth)(GHz) = {0.35 \over t_{rise}(ns)}

比如一个上升沿时间为0.35ns(350ps)的信号，其带宽是实打实的1GHz。有时你可能在示波器上看到一个频率并不高的方波，比如1kHz，但是它的上升/下降沿却非常陡峭，此时这个信号的带宽可能要比信号本身的方波频率要 高出几个数量级。
而在示波器上看到的周期性信号的频率并不等于信号的带宽，如果我们要保证信号在电路中尽量无损地传播，我们设计时就需要考虑其最高信号带宽，否则信号中的较高频率成分如果被衰减，信号将产生严重的失真。

比如一个频率为10MHz的、上升沿不太陡峭的标准方波，如果想将其较完好地传输，需要考虑到组成该方波的至少5至15次谐波(视情况)，即信号带宽为10MHz*(5~15)=50MHz~150MHz。

一个方波由”无数个”高次谐波(正弦)组成

1.2.1-数字电路也能射？！

现在处理器和外部设备的通信速率越来越高，比如某高端FPGA所具有的GT收发器，一对差分线上跑的数据率(频率)能达到 12.5Gbps(12.5GHz) 甚至更高。此时我们在设计PCB时当然也要将这些走线和芯片的封装、焊盘等设计 纳入射频电路的设计规则 中考量。但实际上它本身算是数字电路，不过频率太高导致它也进入了射频微波的范畴内。

所以🐟说过啦，没有必要去给一个电路贴上固定的标签。有经验的工程师往往会考察整个系统，在设计时考虑需要将哪些信号纳入射频信号的设计规则中去处理，来保证系统的最佳性能和可靠性。

1.3-频段划分

作为一个合格的射频工程师，你当然要清楚行业内的规范与标准，尤其是下面这张无线电频段划分表~！记不住也没关系，好歹要有个印象，免得以后看到别人写什么UHF、VHF不知道什么意思。。

顾名思义，无线电频谱是无线电波或者电磁波的频率。 无线电波定义在频率在3000GHz以下，不用人工导波而在空间传播的电磁波。 一般而言，无线电频谱是指9kHz-3000GHz频率范围内无线电频率的总称。

2-传输线理论

既然我们已经知道了什么样的信号属于射频和微波信号，那么我们可以来研究射频电路理论基础了。只有明白了这些理论基础，才能学会设计射频电路，可以说这些于射频而言，就和低频电路中的基尔霍夫定律一样重要。

2.1-电报方程

前面我们做了个纸上实验，说明在射频电路中，某一时刻导线上各点的电压和电流不一样。现在我们来动手将其用数学方程描述一下~
从电压波的表达式入手，考虑一个沿z轴正方向传播的时变正弦信号:V(z,t) = V_0\sin(\omega t - \beta z)，它与我们以往所见的时变信号不同，增加了一个空间维度z。那么我们可以根据电磁理论描述这个信号在z方向上传播的速度——相速度V_p:

V_p = {\omega \over \beta} = \lambda f = {1\over \sqrt{\epsilon \mu}} = {c\over \sqrt{\epsilon_r\mu_r}}

其中，\lambda是信号对应的波长,f是信号对应的频率，c是真空中的光速，\epsilon_r和\mu_r是 相对介电常数(相对空气的介电常数之倍数) 和 相对磁导率(非磁性材料中一般为1) 。

现在的问题是我们不能用基尔霍夫定律去描述射频电路的特性，因为电路中传播的信号波长已经接近电路的物理尺寸，此电路已经变成了分布参数电路。
但是如果我们利用一下极限思想，用无穷多节短导线/线段来组成这一整个系统，每一节短导线的长度都小到远小于信号波长，现在我们就可以再次拾起基尔霍夫定律，建立电路的等效模型了。

现在假设传输线均匀(实际很难做到)，设单位长度的传输线的电阻、寄生电感、导纳和电容分别为: R、L、G、C，单位长度的传输线可以等效为以下电路形式:

对这一小段电路应用基尔霍夫定律，同时推广到更长的传输线上，可以得到 电报方程 如下:

-{\partial v(z,t) \over \partial z} = R \cdot i(z,t)+L \cdot {\partial i(z,t) \over \partial t} \cdots (1)  \\
-{\partial i(z,t) \over \partial z} = G \cdot v(z,t)+C \cdot {\partial v(z,t) \over \partial t} \cdots (1)  

由上述电报方程的电压波、电流波关系可以得出传输线的 特征阻抗(Characteristic Impedance):

Z_0 = \sqrt {R+\jmath \omega L \over G + \jmath \omega C}

对于无损耗传输线(R,G=0)上式可简化为 Z_0 = \sqrt {L\over C}。通常对于较短的线段(略微损耗不会引起明显的误差)可以这样近似。通过此式可看出，传输线的特征阻抗由其寄生参数决定，而寄生参数取决于传输线的物理结构和构成传输系统的介质、材料等参数影响。
在过去我们所学的电路分析中的阻抗是电路的特性，取决于元器件的取值与连接拓扑; 而射频系统中的特征阻抗并不是说传输线的电阻是多少，特征阻抗的定义 基于正向和反向行进的电压波和电流波。特征阻抗的含义在本教程的后面会逐渐明晰起来~

2.2-电磁波

波(Waves) 一般是指周期性的振动在空间或介质中的传播。一旦一个波具有周期性，它的频率是容易计量的不变量，反倒是波长和相速度会随着传播媒介的不同而发生变化。

传播媒介在外加电磁场的作用下，会发生3种电磁现象：传导、极化和磁化。将其整理成表格如下:

现象	起因	特性描述
传导	自由电荷的定向运动	电导率 \gamma
极化	束缚电荷形成的偶极子电特性现象	介电常数 \epsilon
磁化	分子环流形成的偶极子磁特性现象	磁导率 \mu

这些符号我们以后会经常见到;-)

2.2.1-电磁波的定向传播

这一段的公式和方程来自教材《电磁场教程》(叶齐政,陈德智主编,高等教育出版社)，🐟在这里只是列了几个关键步骤的方程，并未详细抄过来，因为这一块实在是太多了，抄多了我也晕读者也晕，大概率还起不到什么作用…
不过说到底，这些繁琐的数学推导到最后来都是为工程服务的，我们如果不从事理论研究，了解个大概就足够应用了。

之前我们建立的电报方程，其实是在研究 波动 问题(波的传播方式)，而研究定向传播电磁波的另一个方面是 波形 问题。不过此“波形”非彼“波形”，这里的波形是指电磁波的 场结构或传播模式，而并非电路中的信号时域波形。

在研究电磁波之前，我们一定要认识这个改变了世界的方程组——麦克斯韦方程组(微分形式):

\left\{ \begin{array}{lcl}
    \nabla \cdot \vec{D} = \rho \\
    \nabla \times \vec{E} = -{\partial \vec{B} \over \partial t} \\
    \nabla \times \vec{H} = \vec{J} + {\partial \vec{D} \over \partial t} \\
    \nabla \cdot \vec{B} = 0
\end{array}\right.

由麦克斯韦方程组可以描述几乎所有的电磁现象，包括我们马上要研究的电磁波。
如果用复数表示正弦稳态时变场的麦克斯韦方程组，可以得到矢量形式的亥姆霍兹方程:

\left\{ \begin{array}{lcl}
    \nabla^2 \dot{E}+\omega^2\mu\epsilon_c\dot{E} = 0 \\
    \nabla^2\dot{H} + \omega^2\mu\epsilon_c\dot{H} = 0
\end{array}\right.

假定电磁波沿纵向 \vec{e_z} 传播，则

\dot{E}(x,y,z) = \dot{E_0}(x,y)\dot{Z}(z) \\
 = (\dot{E_{0x}}(x,y)\vec{e_x} + \dot{E_{0y}}(x,y)\vec{e_y} + \dot{E_{0z}}(x,y)\vec{e_z})\dot{Z}(z)

为运算方便，引入横向算子 \nabla_T = \vec{e_x}{\partial \over \partial x}+ \vec{e_y} {\partial \over \partial y}，代入上述的矢量形式亥姆霍兹方程，得到:

-(\nabla^2_T + \omega^2\mu\epsilon_c)\dot{E_0}(x,y) = \dot{E_0}(x,y) { {\partial^2 \over \partial z^2 }\vec{Z}(z) \over \vec{Z}(z)}

还没写完，下次再更新.JPG

在这里推荐一个 电磁波三维可视化工具，可以自行调节2个波的参数，还可以设置中间的传波介质，以观察不同的电磁波模式。(感谢评论区网友的推荐)

2.3-辐射效应

2.4-实际的射频电路结构

2.4.1-微带线

2.4.2-带状线

2.4.3-共面波导

2.4.4-传播介质

2.4.4.1-介电常数

2.4.4.2-介电损耗

2.4.4.3-常用的介质

2.4.5-同轴线

2.4.6-腔体,波导…

2.5-射频元器件模型

3-特征阻抗

4-射频微波的电路参数

4.1-二端口网络的S参数

4.2-推广至N端口网络的S参数

4.3-反射系数、驻波比

5-深入探讨射频电路结构

5.1-微带线

5.2-带状线

5.3-共面波导

5.4-无源微波电路结构

5.4.1-功分器(Power Divider)

5.4.2-耦合器与电桥(Coupler&Bridge)

5.4.3-滤波器(Filter)

5.4.4-巴伦(Balun)

5.4.5-衰减器(Attenuator)

5.5-腔体

6-射频微波工程

6.1-还是传输线

6.2-连接器

6.3-射频微波电路制作-PCB

6.4-射频微波机械结构

6.5-射频微波电路先进工艺简介

7-射频仪器三件套

7.1-频谱分析仪

7.2-射频信号源

7.3-矢量网络分析仪

7.4-其他仪器简介

8-射频微波仿真软件(可能另外写一篇文)

8.1-电磁计算与仿真

8.2-有限元法(Finite Element Method)

8.3-矩量法(Method of Momentum)

8.4-时域有限差分法(Finite Differential Time Domain)

附录A.学习资源

0-后记

0.1-为什么想写这篇文

🐟非常喜欢、欣赏业内一些巨头企业的“风范”，诸如ADI、TI、HP(Agilent/Keysight)等，他们有非常多的深度挖掘基础知识和讲解先进技术的文章，比如从上世纪延续至今的《模拟对话》、从1950s就开始发表的《HP Journal》、ADI和TI一系列的电子技术基础教程和应用笔记、参考设计等。这些丰富的资料才是富有责任心、耐心与毅力的工程师应有的产出。俗话说论迹不论心，无论他们写这些文章是为了宣传自己的先进技术，还是向全球客户推广自己的产品，从客观角度来看，这些文章和资料确实是EE们宝贵的财富。

早在大半年前，我就想扩充一下emoe的教程体系了。既然已经有了基本的电子入门教程大全，那么下一步应该是往更深入的技术细节深耕。当时受emoe的ham们影响，萌生了写通信与射频微波相关的教程的想法。但说来惭愧，🐟虽然本科上了射频、微波的课程，但是没有认真上课，处于基本没学的状态…所以当时只是有了想法，但是没能力实现。

前几天在 高速射频百花潭公众号上看到了这样一篇文章:高速ADC/DAC电路及PCB设计要点，这篇文章一看就是四处搬运来的，好像什么都讲了，但又什么都没讲。其实这样的文章在互联网上非常普遍，且广泛存在于CSDN、简书、博客园等公共博客和论坛中。🐟并不是对这类文章有什么偏见，我只是觉得这类文章就像隔靴搔痒，真正懂的人一看就知道在说什么，不懂而想要学习的人看了文章后还是一头雾水。

🐟并不是超人，也是慢慢学习慢慢进步的一个普通电子工程师。可能是很早之前养成的习惯，也可能是从前积累下来的心态，🐟就是很喜欢写这种教程和分享文章。每每看见那些隔靴搔痒的文章，心中还会暗暗地叹口气。现在，射频对我来说也不再是陌生的“魔法”，我也在逐渐成为射频微波魔法使。所以我觉得是时候开始慢慢地写这篇文章了。

0.2-关于对写教程文章的思考

写教程是个折寿的活(bushi)，这项工作将耗费大量精力与时间，对作者的专业水平、表达能力
与文字功底都有很高的要求，可以说写教程的难度丝毫不亚于真正的EE工作内容。所以我也理解很多人写的文章只是蜻蜓点水，一笔带过，毕竟就算人真的精通了这项技术和具体的工程，可能也不愿意付出大量的时间和精力将其书面表达出来，并分享到互联网上。

互联网出现在地球上也不过短短的半个世纪，但这半个世纪中，人类社会的信息量却呈现指数型爆发式增长的趋势。在浩如烟海的互联网中，有这么一个小小的角落，名为 HP Memory Project，这是一个非盈利的个人组织，并非由现在的HP公司维护(创建这个组织的人已经于2014年与世长辞了)。在What&Why一栏中介绍写道:

This site is the virtual showcase of a private collection of equipment and documents acquired over a lifetime career of work in the high-tech era of the 20th Century. The overall HP Memory Project is a work of gratitude from one of the many people who had the good fortune to spend a full professional life working for one of the world’s most successful High-Tech Companies, the Hewlett-Packard Co. HP was one of the very few Companies in which the frame of mind of the founders, David Packard and William Hewlett, grew from their cooperative philosophy of life into a model of a wonderful way of management…The HP Way.

纵观HP公司的历史，这的确是一个如传奇般的公司。HP的过去(指20世纪)也代表着那一个 "Golden Years":人们充满激情地投入到开发新技术、新科技的工作中，创造一个又一个的里程碑;人们还编写了大量技术文章与教程，迫不及待地发表到互联网上与全世界的工程师与爱好者们一同分享。那个年代仿佛是由无尽的热情与汗水凝结而成的——上古互联网时代奇迹。

新世纪已经走过20余年头，然而那个黄金时代的精神却愈加遥远。那个黄金时代的余晖洒在我们身上，使我们久违地感到了温暖。我们无法改变大环境，但是我们能做好自己。🐟和emoe的小伙伴们就是想要保留这么一份对某件事物的纯真的热爱与激情，才创建了emoe studio。希望无论是来到这里的谁，都能在这里有所收获。如果可能，还请希望你能将这份精神传递下去，为日渐干涸的互联网沙漠保留一片生机盎然的绿洲。

——Floydfish 于 2023.2.9

0.3-写教程该怎么写呢

说实话这也是困扰我许久的问题。
每个领域都有优秀的经典教材，如果去对着书本踏踏实实学习固然是很好的，但是我们敢想还要敢做，学来这一堆理论最后总要落实到我们实际的电路设计与系统集成中去。所以我想对于教程文章来说，理论是底盘，而工程实践才是最终的结果。

所以我在写这篇教程时，基本上是按照理论教材的顺序来讲解，但中间会大量地补充工程设计实例与有意思的拓展点。预计完整地写完这篇文章需要很长的时间，敬请期待，欢迎理性拍砖~

参考与引用

• [教材参考书] 《射频电路设计——理论与应用(第二版)》 – Reinhold Ludwig/Gene Bogdanov著,王子宇 王心悦等译.电子工业出版社

• [教材参考书] 《射频与微波电子学》-M.M 拉德马内斯 科学出版社

• [网页教材] Microstrip, Stripline, CPW, and SIW Design-Iulian Rosu,YO3DAC/VA3IUL

• [Journal] 由基尔霍夫定律看电磁场理论与电路理论的关系-李凤霞

• [网页教材] Rise Time vs. Bandwidth and Applications

• [Wiki] 无线电频谱

• [知乎] 传输线方程

• [Wiki] 亥姆霍兹方程

• [教材参考书]《电磁场教程》-叶齐政,陈德智主编,高等教育出版社

• [网页工具] 电磁波三维可视化工具

• [知乎] Ansys HFSS是怎样炼成的？